extremos de funciones de varias variables ejercicios resueltos pdf

2 x ) y 3 , 3. = x = x Una caja de cartn sin tapa debe hacerse con un volumen de 44 pies3. ( 2 + x x Una funcin de dos variables z=f(x,y)z=f(x,y) aplica cada par ordenado (x,y)(x,y) en un subconjunto DD del plano real 2 2 a un nico nmero real z.z. x ) x y = x El grfico de una funcin z=(x,y)z=(x,y) de dos variables se llama superficie. Para hallar los extremos globales de las funciones de una variable en un intervalo cerrado, empezamos comprobando los valores crticos sobre ese intervalo y luego evaluamos la funcin en sus puntos extremos. z El objetivo principal para determinar los puntos crticos es localizar los mximos y mnimos relativos, como en el clculo de una sola variable. x Puesto que han de cumplirse las dos ecuaciones, tenemos dos puntos crticos: Necesitamos comprobar el signo de \(a\) para estudiar el segundo punto crtico: Por tanto, se trata de un mximo relativo. c y x ( Es un punto donde la x x + En la siguiente figura aparece un ejemplo de punto de silla. x 7 2 2 + x Este punto no es del dominio de f.f. x , y endobj = 2 + x , , El nmero f(x0,y0)f(x0,y0) se denomina valor mnimo local. Clculo de Extremos de Funciones de Varias Variables - MATESFACIL 1. = y + + y + V /Length 80863 c y + , 2. ) f Desde el origen, la funcin crece sobre el eje OY y, sobre el eje OX, decrece hacia la derecha y crece hacia la izquierda. Dos de estos ejemplos son. x 2 x endobj y x 2 ( y f x z , 36 Extremos ejercicios resueltos - Extremos de funciones de varias variables 1.- Se va a construir un - Studocu ejecicios resueltos extremos de funciones de varias variables se va construir un almacn de 500 m3 de volumen con forma de paraleleppedo. 100 el aire caliente que Saltar al documento Pregunta al Experto Iniciar sesinRegistrate x y debe atribuir a OpenStax. y Falta el origen. y ) << /S /GoTo /D (subsection.5.3) >> , 4 ; = ( ( y = 2, f 0 y ) y. f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x)f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x) grandes. 2 Una funcin continua f(x,y)f(x,y) en un conjunto cerrado y delimitado DD en el plano alcanza un valor mximo absoluto en algn punto de DD y un valor mnimo absoluto en algn punto de D.D. + y x 2 y (para puntos prximos a P). z /Height 1123 x, f 2 1, f ) z Dada la funcin z=f(x,y),z=f(x,y), el punto (x0,y0,f(x0,y0))(x0,y0,f(x0,y0)) es un punto de silla si fx(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0 y fy(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0, pero ff no tienen un extremo local en (x0,y0).(x0,y0). = 2 y 100 x 10 c w ( = 3 g x + cos Por lo tanto, la existencia de un valor crtico en x=x0x=x0 no garantiza un extremo local en x=x0.x=x0. Desea citar, compartir o modificar este libro? 2 9 Regla de la segunda derivada. 3 x 4, w ) ) ) 4 ^_AG=.gY[">{ b@w^#?@$JNZPC/u\@?^qT%3T|-{k*s!5+$Hp?t1Ae aJ?B5 lxmX8VyAR"~5,yQhK("(1U1i8YfhFY(8"A? Las curvas de nivel siempre se grafican en el plano xy,xy, pero como su nombre indica, las trazas verticales se grafican en los planos xzxz o yz.yz. Mtodo de Resolucin Nos basaremos, bsicamente, en dos teoremas: Puntos crticos: segn teorema, ( Mximos y mnimos de una funcin (con problemas resueltos) c Llamamos a las derivadas parciales de \(f\) en \(a\) del siguiente modo: Y definimos el Hessiano de \(f\) en \(a\) como, Si \(H > 0\) y \(A<0\), entonces \(f\) tiene un mximo local en \(a\), Si \(H > 0\) y \(A>0\), entonces \(f\) tiene un mnimo local en \(a\), Si \(H < 0\), entonces \(f\) tiene un punto de silla en \(a\). valor. ) m m. Por tanto: = X57UnBGKJSl%hyCg@:k"$Tb Un tanque de oxgeno est construido con un cilindro recto de altura yy, y el radio xx con dos hemisferios de radio xx montado en la parte superior e inferior del cilindro. + 9 x + 2 0 y ) + Para simplificar, eleve al cuadrado ambos lados de esta ecuacin: Ahora, multiplique ambos lados de la ecuacin por 11 y aada 99 a cada lado: Esta ecuacin describe un crculo centrado en el origen con radio 5.5. ( y + , 15 2 x ( x , y Este libro utiliza la ) x 30 Observe que es posible que alguno de los dos valores no sea un nmero entero; por ejemplo, es posible vender 2,52,5 mil tuercas en un mes. 2, z x = Si el borde es un rectngulo o un conjunto de lneas rectas, entonces es posible parametrizar los segmentos de lnea y determinar los mximos en cada uno de estos segmentos, como se ve en el Ejemplo 4.40. Matesfacil.com y ) :}O(9 D}I/_$ y&o*9>6_3^h )>'M/,Rd|_Y/x _V_qR__XAT)lsuaQ iQOREXU .#&+Oat?%IU1ipWRZcOWZ%+ffIQZ` A_ ? La siguiente figura muestra dos ejemplos. ) f 2 y ; y x z 2. 1 + y = 2, f Si la desigualdad anterior se cumple para cada punto (x,y)(x,y) en el dominio de f,f, entonces ff tiene un mximo global (tambin llamado mximo absoluto) en (x0,y0).(x0,y0). x para todos los puntos (x,y)(x,y) dentro de un disco centrado en (x0,y0).(x0,y0). ( , x Exprese el volumen del tanque como una funcin de dos variables, xyy,xyy, halle V(10,2 ),V(10,2 ), y explique lo que significa. , Sin embargo, cuando la funcin tiene tres variables, las curvas se convierten en superficies, por lo que podemos definir superficies de nivel para funciones de tres variables. 3 y De forma similar, podemos sustituir los valores de y y en la ecuacin f(x,y)f(x,y) para obtener las trazas en el plano yz,yz, como se indica en la siguiente tabla. , El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . superficie presenta un mximo con respecto a una direccin y un mnimo con respecto a la direccin perpendicular. >> 2 y x . El punto (x0,y0)(x0,y0) se llama punto crtico de una funcin de dos variables ff si se cumple una de las dos condiciones siguientes: Halle los puntos crticos de cada una de las siguientes funciones: Halle el punto crtico de la funcin f(x,y)=x3+2 xy2 x4y.f(x,y)=x3+2 xy2 x4y. + y x d dx(f(g(x))) = f (g(x))g (x). y ) ) 2 , Definimos g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)): Esta funcin tiene un punto crtico en t=1,t=1, que corresponde al punto (1,25),(1,25), que no est en el dominio. 2 15 w !1AQaq"2B #3Rbr Introduccin - Funciones de varias variables - Curvas de nivel 02. z (Aplicaciones de la diferencial) 3, f 2 x FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Escuela Universitaria de Ingeniera Tcnica Industrial Bilbao 1. 2 2 ( = Estas esquinas estn situadas en (0,0),(50,0),(50,25)y(0,25):(0,0),(50,0),(50,25)y(0,25): El valor crtico mximo es 648,648, que se produce en (21,3).(21,3). 2, f = PDF Limites y continuidad - UPM , TEOREM 101 Propiedades Lmite Bsico de Funciones de Dos Variables Dejar b, x0, y0, L y K ser nmeros reales, dejar n ser un entero positivo, y let f y g ser funciones con los siguientes lmites: Se mantienen lim ( x, y) ( x0, y0) f(x, y) = L \ and\ lim ( x, y) ( x0, y0) g(x, y) = K. los siguientes lmites. c + + x y Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables definida en un conjunto abierto que contiene el punto (x0,y0).(x0,y0). Dibujar el grfico de una funcin de dos variables. 3 ) Utilizando los valores de cc entre 0y30y3 da lugar a otros crculos tambin centrados en el origen. y ( f g = x El, laterales es, por unidad de rea, triple que, Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto, = 2, representarla con Derive e identificar sus, Exmen 2015, preguntas y respuestas - interpolacin, Clasificacin de las universidades del mundo de Studocu de 2023, Teoras de la Educacin e Historia de la Escuela (GMEDPR01), Historia Del Pensamiento Pedaggico (800360), Prehistoria Reciente de la Pennsula Ibrica (67013070), Gnero y Literatura en los Pases de Habla Inglesa (6402217), Historia Poltica y Social Contempornea de Espaa (69901024), Salud en Contextos Educativos y Laborales (15091109), Estrategia y Organizacin de Empresas Internacionales (50850004), Aprendizaje y desarrollo de la personalidad, Big data y business intelligence (Big data), Delincuencia Juvenil y Derecho Penal de Menores (26612145), Operaciones y Procesos de Produccin (169023104), Examen 6 Febrero 2019, preguntas y respuestas, Apuntes Completos Hematologa, Temas 1-14.pdf, Apuntes Psicologa de la Personalidad Tema 1 - Introduccion al estudio de la personalidad: Unidades de analisis, Introduccion a la Criminologa Capitulo 1, ARTE Y Poder- Resumen DEL Temario Completo, Cuadros-resumen jurisdiccin contencioso-administrativa (Tema 19), PART 2 -Cambridge-English-First-Use-of-English-Part-2-With-Answers, 155135793 Libro Autoescuela Permiso B de conducir pdf, Prctico - Ejercicios resueltos. 2 c , 10 x ( y ) x x , x ( 0/2100 puntos de dominio. z ( Esto se debe a que las primeras derivadas parciales de f(x,y)=x2 y2 f(x,y)=x2 y2 son ambos iguales a cero en este punto, pero no es ni un mximo ni un mnimo para la funcin. x z + 1 0 obj x y 3 c ( stream Cuando c=4,c=4, la curva de nivel es el punto (1,2 ). , Mtodo de Resolucin: puntos crticos y de silla, condicin suficiente de la existencia de extremos relativos y matriz Hessiana. 2 y + y z = 2 x , , Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables definida y continua en un conjunto abierto que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). ) 75 x x donde xx es el nmero de tuercas vendidas al mes (medido en miles) y yy representa el nmero de tornillos vendidos por mes (medido en miles). c + y , Cuando x=3x=3 y y=2 ,y=2 , f(x,y)=16.f(x,y)=16. x x Calculamos las derivadas parciales de \(f\): Los puntos crticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. = ; x + Cules son el dominio y el rango de f?f? + El volumen de un cilindro circular recto se calcula mediante una funcin de dos variables, V(x,y)=x2 y,V(x,y)=x2 y, donde xx es el radio del cilindro circular recto e yy representa la altura del cilindro. 2 4 Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin continua de dos variables definida en un conjunto cerrado y delimitado D,D, y asumamos que ff es diferenciable en D.D. 2, g Por tanto, se trata de un punto de silla. 2 3 y 9 ( = x 5 Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada pgina fsica la siguiente atribucin: Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la pgina digital la siguiente atribucin: Utilice la siguiente informacin para crear una cita. 4 10 2 ( En esta seccin estudiaremos analticamente la existencia de extremos (50,2 9). = ) El rango de ff es el conjunto de todos los nmeros reales zz que tiene al menos un par ordenado (x,y)D(x,y)D de manera que f(x,y)=zf(x,y)=z como se muestra en la siguiente figura. x La definicin de una funcin de dos variables es muy similar a la de una funcin de una variable. PROBLEMAS RESUELTOS 1 (continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables) PROBLEMA 1 Estudiar la continuidad de la funcin: 2 22 (,)(0,0) (,) 0(,)(0, xy xy fxy xy xy = + = 0) SOLUCIN Planteamos el estudio del lmite en el origen realizando un cambio a coordenadas polares: ( ) 4.3 Derivadas parciales - Clculo volumen 3 | OpenStax Identifique el punto del plano. +#Q_A~ n*TU^ y ) 8) La temperatura en cada punto (x;y) de un plano viene dada por una funci on T(x;y). ( z ) = x , x ) = cp+_sH{2@i4d7L.o?AOCc0Q[1{"$JlMl"$[1ePhxm(*J|bi-8[- qUN%A+se_Si''8Up,oyN"$woNW^"3D[z + = y 3, f 1wpA4"3[L w8|ACKQA Eo,z[c?j9,;BD"s)mk7+lq)MQ=FV;?L|Txq3FmpC~78;MW?2jECC4mWC\V{AqxAXda_Mu^DliPQ%]L,(c<3Q r# 3 ) ( x 2022 OpenStax. Definicin de extremo. x , 7 = 0 Entonces ff alcanzar el valor mximo absoluto y el valor mnimo absoluto, que son, respectivamente, los valores ms grandes y ms pequeos encontrados entre los siguientes: La demostracin de este teorema es una consecuencia directa del teorema del valor extremo y del teorema de Fermat. La suma de la longitud y la circunferencia (permetro de una seccin transversal) de un paquete transportado por un servicio de entrega no puede superar 108108 pulgadas Halle las dimensiones del paquete rectangular de mayor volumen que se puede enviar. y y ) 62 f ) y x Exprese TT en funcin de xyy.xyy. , x 1 2 Otra herramienta til para entender el grfico de una funcin de dos variables se llama traza vertical. 2 Extremos relativos y absolutos de una funcin - YouTube , f ; + y Incremento de una funcin - Teorema del valor medio - Funciones diferenciables 04-1. 2 29 0 obj << = y y xXKo6WloZf&[vj%W >6'!gx_Wb$%Sv'o=jHPV [s[S i}K:7{xEDoQSoH2 .p.0X6 l% "1MVM_Dyk{Ic?Vt=U>.N&Y`kN1?JA}zt=UIO7{&S~?!o;Svik`lL0miOu+|  2 ( ( , 2 6, f Adems, este es el nico f(x,y)=x33xyy3f(x,y)=x33xyy3 sobre R={(x,y):2x2 ,2y2 }R={(x,y):2x2 ,2y2 }, f(x,y)=2yx2 +y2 +1f(x,y)=2yx2 +y2 +1 sobre R={(x,y):x2 +y2 4}R={(x,y):x2 +y2 4}. Utilizando la estrategia de resolucin de problemas, el paso 11 consiste en hallar los puntos crticos de ff en su dominio. x w y x x endobj + y , g , Si ff tiene un extremo local en (x0,y0),(x0,y0), entonces (x0,y0)(x0,y0) es un punto crtico de f.f. Al igual que las funciones de una variable, las de varias variables tambin Estas curvas aparecen en las intersecciones de la superficie con los planos x=4,x=0,x=4x=4,x=0,x=4 en tanto que y=4,y=0,y=4y=4,y=0,y=4 como se muestra en la siguiente figura. ) 2 + 3 x , y << /S /GoTo /D (section.5) >> x 0 , 2 2 y y y x 2, f 2 + 2 ejercicios y problemas resueltos con solucin de funciones de varias variables matemticas universidad UNED http://profesor10demates.blogspot.com.es/ = x ) x ) Lmite doble - Continuidad - Derivadas parciales - Derivadas sucesivas 03. ; Cuando se trabaja con una funcin de dos o ms variables, se trabaja con un disco abierto alrededor del punto. y Halle los valores de x y de y para maximizar los ingresos totales. c x Un mapa topogrfico contiene lneas curvas llamadas curvas de nivel. ( 4 , = ) Evaluamos las derivadas parciales segundas en dicho punto: Con lo que, aplicando el teorema, el punto es un mnimo relativo. En los siguientes ejercicios, halle todos los puntos crticos. ) c y Volviendo a la funcin g(x,y)=9x2 y2 ,g(x,y)=9x2 y2 , podemos determinar las curvas de nivel de esta funcin. + 1 2 Cuando se trabaja con una funcin de una variable, la definicin de un extremo local implica hallar un intervalo alrededor del punto crtico tal que el valor de la funcin sea mayor o menor que todos los dems valores de la funcin en ese intervalo. , x ( En los siguientes ejercicios utilice la Prueba de la segunda derivada para clasificar cualquier punto crtico y determine si cada punto crtico es un mximo, un mnimo, un punto de silla o ninguno de ellos. 2 c Limites en varias variables. Ejercicios resueltos Parte 1 16 y f

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